تحليل البيانات الإحصائية: تحليل المكونات الرئيسية (PCA) بالتفصيل والأمثلة التطبيقية

 

تحليل البيانات الإحصائية: تحليل المكونات الرئيسية (PCA) بالتفصيل والأمثلة التطبيقية

مقدمة:

يُعتبر تحليل البيانات الإحصائية خطوة حاسمة في أي بحث علمي، فهو يسمح بتحويل البيانات الخام إلى معلومات ذات معنى، واستخلاص الاستنتاجات الصحيحة، والإجابة على أسئلة البحث المطروحة. من بين الأدوات الإحصائية القوية والمفيدة في تحليل البيانات الزراعية، يبرز تحليل المكونات الرئيسية (Principal Component Analysis - PCA) كطريقة فعالة لتبسيط البيانات المعقدة واكتشاف الأنماط الخفية فيها.

ما هو تحليل المكونات الرئيسية (PCA)؟

تحليل المكونات الرئيسية (PCA) هو تقنية إحصائية متعددة المتغيرات تُستخدم لتقليل أبعاد البيانات (dimensionality reduction) مع الحفاظ على أكبر قدر ممكن من التباين الأصلي. بمعنى آخر، يساعد PCA على تحويل مجموعة من المتغيرات المترابطة إلى مجموعة أصغر من المتغيرات غير المترابطة تسمى المكونات الرئيسية (Principal Components - PCs).

• المكونات الرئيسية: هي متغيرات جديدة يتم إنشاؤها كتركيبات خطية من المتغيرات الأصلية. يتم ترتيب المكونات الرئيسية بحيث يفسر المكون الأول أكبر قدر من التباين في البيانات، والمكون الثاني يفسر أكبر قدر من التباين المتبقي، وهكذا.
• تقليل الأبعاد: يتيح PCA التركيز على أهم المتغيرات (المكونات الرئيسية) وتجاهل المتغيرات الأقل أهمية، مما يبسط عملية التحليل والتفسير.
• اكتشاف الأنماط: يساعد PCA في تحديد العلاقات بين المتغيرات المختلفة واكتشاف الأنماط الخفية في البيانات.

متى نستخدم تحليل المكونات الرئيسية (PCA)؟

يُستخدم PCA في العديد من التطبيقات الزراعية، بما في ذلك:

• تبسيط البيانات المعقدة: عندما يكون لديك عدد كبير من المتغيرات وتريد تقليلها إلى عدد قليل من المكونات الرئيسية التي تفسر معظم التباين.
• تحديد أهم المتغيرات: عندما تريد تحديد المتغيرات التي تساهم بشكل أكبر في التباين في البيانات.
• اكتشاف الأنماط والعلاقات: عندما تريد استكشاف العلاقات بين المتغيرات المختلفة وتحديد المجموعات أو التكتلات (clusters) في البيانات.
• تحسين جودة النماذج: يمكن استخدام PCA كخطوة تمهيدية لتحسين جودة النماذج الإحصائية الأخرى (مثل الانحدار والتصنيف).
• تصور البيانات: يمكن استخدام PCA لإنشاء رسومات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد تعرض البيانات في مساحة ذات أبعاد أقل، مما يسهل فهمها وتفسيرها.

افتراضات تحليل المكونات الرئيسية (PCA):

• الخطية (Linearity): يفترض PCA أن العلاقات بين المتغيرات خطية.
• التوزيع الطبيعي (Normality): يُفضل أن تتبع البيانات توزيعًا طبيعيًا، ولكن PCA لا يزال فعالًا في كثير من الحالات حتى إذا لم يتم استيفاء هذا الافتراض بشكل كامل.
• القياس الكمي (Quantitative Data): يتطلب PCA أن تكون المتغيرات كمية (رقمية).
• التناسب (Proportionality): يفترض PCA أن التباين في البيانات يعكس الأهمية.

خطوات إجراء تحليل المكونات الرئيسية (PCA):

1.     تجهيز البيانات (Data Preparation):

o        تنظيف البيانات: التأكد من عدم وجود قيم مفقودة أو قيم متطرفة (outliers).

o        توحيد البيانات (Standardization): تحويل المتغيرات إلى مقياس موحد (عادةً عن طريق طرح المتوسط والقسمة على الانحراف المعياري) لضمان أن جميع المتغيرات تساهم بالتساوي في التحليل.

2.     حساب مصفوفة التباين والتباين المصاحب (Covariance Matrix):

o        تحسب مصفوفة التباين والتباين المصاحب العلاقات بين جميع أزواج المتغيرات.

3.     حساب القيم الذاتية (Eigenvalues) والمتجهات الذاتية (Eigenvectors):

o        القيم الذاتية تمثل مقدار التباين الذي يفسره كل مكون رئيسي.

o        المتجهات الذاتية تمثل اتجاه المكونات الرئيسية في مساحة المتغيرات الأصلية.

4.     ترتيب المكونات الرئيسية:

o        يتم ترتيب المكونات الرئيسية تنازليًا بناءً على القيم الذاتية الخاصة بها.

o        المكون الرئيسي الأول (PC1) يفسر أكبر قدر من التباين، والمكون الرئيسي الثاني (PC2) يفسر أكبر قدر من التباين المتبقي، وهكذا.

5.     اختيار عدد المكونات الرئيسية:

o        يتم تحديد عدد المكونات الرئيسية التي سيتم الاحتفاظ بها بناءً على معايير مختلفة، مثل:

§         قاعدة كايزر (Kaiser's Rule): الاحتفاظ فقط بالمكونات الرئيسية التي لها قيم ذاتية أكبر من 1.

§         نسبة التباين المفسر: الاحتفاظ بعدد كاف من المكونات الرئيسية لتفسير نسبة معينة من التباين الكلي (عادةً 70-90%).

§         رسم الحصى (Scree Plot): رسم القيم الذاتية مقابل أرقام المكونات الرئيسية وتحديد "نقطة الكسر" حيث يبدأ التناقص في القيم الذاتية في التباطؤ.

6.     تفسير المكونات الرئيسية:

o        فحص معاملات التحميل (loadings) للمتغيرات الأصلية على كل مكون رئيسي.

o        معاملات التحميل تمثل الارتباط بين كل متغير أصلي والمكون الرئيسي.

o        تسمية المكونات الرئيسية بناءً على المتغيرات التي ترتبط بها بشكل قوي.

7.     تصور البيانات:

o        إنشاء رسومات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد للمكونات الرئيسية.

o        تلوين النقاط بناءً على مجموعات مختلفة (مثل الأنواع أو المعاملات).

o        استخدام الرسوم البيانية لتصور معاملات التحميل.

مثال تطبيقي: تحليل أصناف القمح

لنفترض أن لدينا بيانات عن 10 أصناف مختلفة من القمح، وتم قياس 5 صفات زراعية لكل صنف:

• إنتاجية الحبوب (Grain Yield - GY)
• ارتفاع النبات (Plant Height - PH)
• محتوى البروتين (Protein Content - PC)
• مقاومة الصدأ الأصفر (Yellow Rust Resistance - YRR)
• مقاومة الجفاف (Drought Resistance - DR)

الهدف هو تبسيط هذه البيانات وتحديد أهم الصفات التي تميز الأصناف المختلفة.

1.     تجهيز البيانات: نقوم بتنظيف البيانات وتوحيدها.

2.     حساب مصفوفة التباين والتباين المصاحب.

3.     حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. لنفترض أننا حصلنا على القيم الذاتية التالية:

المكون الرئيسي	القيمة الذاتية	نسبة التباين المفسر (%)	التباين التراكمي المفسر (%)
PC1	3.2	64%	64%
PC2	1.1	22%	86%
PC3	0.4	8%	94%
PC4	0.2	4%	98%
PC5	0.1	2%	100%

4.     اختيار عدد المكونات الرئيسية: باستخدام قاعدة كايزر، نحتفظ بالمكونين الرئيسيين الأولين (PC1 و PC2) لأنهما لهما قيم ذاتية أكبر من 1. هذان المكونان يفسران 86% من التباين الكلي في البيانات.

5.     تفسير المكونات الرئيسية: لنفترض أن معاملات التحميل للمتغيرات الأصلية على المكونين الرئيسيين الأولين هي:

الصفة الزراعية	PC1	PC2
GY	0.85	0.20
PH	0.70	-0.30
PC	-0.25	0.80
YRR	0.60	0.50
DR	0.50	-0.60

o        PC1: يرتبط بشكل قوي بإنتاجية الحبوب (GY)، وارتفاع النبات (PH)، ومقاومة الصدأ الأصفر (YRR). يمكن تسمية هذا المكون بـ "مكون الإنتاجية والمقاومة".

o        PC2: يرتبط بشكل قوي بمحتوى البروتين (PC) ومقاومة الجفاف (DR). يمكن تسمية هذا المكون بـ "مكون الجودة والتحمل".

6.     تصور البيانات: يمكننا إنشاء رسم بياني ثنائي الأبعاد يعرض الأصناف المختلفة من القمح على المكونين الرئيسيين الأولين (PC1 و PC2). يمكننا تلوين النقاط بناءً على تصنيف الأصناف (مثل أصناف عالية الإنتاجية وأصناف مقاومة للجفاف).

مثال حسابي مبسط:

(هذا المثال مبسط جدًا لتوضيح الفكرة الرئيسية. التحليل الفعلي يتطلب استخدام برامج إحصائية متخصصة).

لنفترض أن لدينا بيانات عن صنفين من القمح (A و B) وتم قياس صفتين: إنتاجية الحبوب (GY) ومحتوى البروتين (PC).

الصنف	إنتاجية الحبوب (GY)	محتوى البروتين (PC)
A	5	12
B	7	10

1.     تجهيز البيانات: نقوم بتوحيد البيانات:

الصنف	إنتاجية الحبوب (GY)	محتوى البروتين (PC)
A	-1	1
B	1	-1

2.     حساب مصفوفة التباين والتباين المصاحب:

3.           Covariance Matrix = | 1  -1 |

4.                           |-1   1 |

   

حساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية: (يتطلب هذا حسابات رياضية معقدة لا يمكن إجراؤها بسهولة يدويًا). لنفترض أننا حصلنا على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية التالية:

o        القيمة الذاتية 1 = 2، المتجه الذاتي 1 = (0.707, -0.707)

o        القيمة الذاتية 2 = 0، المتجه الذاتي 2 = (0.707, 0.707)

5.     تفسير النتائج:

o        المكون الرئيسي الأول (PC1) يفسر معظم التباين في البيانات ويرتبط بإنتاجية الحبوب ومحتوى البروتين بعلاقة عكسية.

o        المكون الرئيسي الثاني (PC2) لا يفسر أي تباين.

استخدام البرامج الإحصائية:

يتم إجراء تحليل المكونات الرئيسية بسهولة باستخدام البرامج الإحصائية مثل SPSS و R و SAS.

• SPSS: يوفر SPSS إجراءات سهلة الاستخدام لإجراء PCA وتصور النتائج.
• R: يوفر R مجموعة واسعة من الحزم (packages) لإجراء PCA وتحليل البيانات المتعددة المتغيرات.

مثال على استخدام R:

      # تحميل البيانات

data <- data.frame(GY = c(5, 7), PC = c(12, 10))

 

# توحيد البيانات

data_standardized <- scale(data)

 

# إجراء تحليل المكونات الرئيسية

pca <- prcomp(data_standardized, scale. = FALSE)

 

# عرض النتائج

summary(pca)

 

# رسم النتائج

biplot(pca)

   

مميزات وعيوب تحليل المكونات الرئيسية (PCA):

• المميزات:
• تبسيط البيانات المعقدة.
• تحديد أهم المتغيرات.
• اكتشاف الأنماط والعلاقات.
• تحسين جودة النماذج الإحصائية.
• تصور البيانات.
• العيوب:
• يفترض خطية العلاقات بين المتغيرات.
• قد يكون من الصعب تفسير المكونات الرئيسية في بعض الحالات.
• قد يفقد بعض المعلومات عند تقليل الأبعاد.

الخلاصة:

تحليل المكونات الرئيسية (PCA) هو أداة قوية ومرنة لتحليل البيانات الزراعية. يمكن استخدامه لتبسيط البيانات المعقدة، وتحديد أهم المتغيرات، واكتشاف الأنماط والعلاقات، وتحسين جودة النماذج الإحصائية، وتصور البيانات. ومع ذلك، يجب استخدامه بحذر وفهم افتراضاته وقيوده.